Чому дорівнює висота прямої трикутної призми: Формули та приклади для учнів

Висота прямої трикутної призми: базові поняття та формули

Пряма трикутна призма — це геометричне тіло, яке має дві однакові трикутні основи, з’єднані трьома прямими прямокутними гранями. Висота прямої трикутної призми є важливим параметром, оскільки допомагає визначити об’єм та площу поверхні призми. У цій статті ми розглянемо, чому дорівнює висота прямої трикутної призми, основні формули, а також наведемо приклади для учнів.

Визначення висоти призми

Висота прямої трикутної призми — це відстань між основами. Вона дорівнює перпендикулярному відрізку, що сполучає центри обох трикутних основ. Висота позначається буквою ( h ).

Основні характеристики трикутної призми

1. Вершини: Призма має шість вершин.
2. Грані: Має п’ять граней: дві трикутні основи та три прямокутні бічні грані.
3. Ребра: Має дев’ять ребер: три ребра основи + три ребра верхньої основи + три бічних ребра.

Формули для обчислення висоти

Висоту прямої трикутної призми можна обчислити за кількома формулами, залежно від відомих параметрів. Ось основні варіанти:

1. Висота через об’єм

Об’єм призми обчислюється за формулою:

[
V = S_{основа} \cdot h
]

де:

• ( V ) — об’єм призми,
• ( S_{основа} ) — площа основи,
• ( h ) — висота призми.

Відповідно, висота може бути обчислена як:

[
h = \frac{V}{S_{основа}}
]

2. Висота трикутника як основи

Якщо відома площа трикутної основи (можна обчислити за формулою Герона або через сторони), то можна виразити висоту призми через висоту трикутної основи.

Наприклад, для прямокутного трикутника:

[
S_{основа} = \frac{1}{2} a b
]

де ( a ) та ( b ) — катети. Звідси, якщо площа ( S_{основа} ) відома, то:

[
h = \frac{V}{S_{основа}}
]

3. Висота через кути

Якщо основа трикутника має відомі кути, можна використати тригонометричні функції для обчислення висоти. Для тупокутного або гострокутного трикутника:

[
h = a \cdot \sin(C)
]

де ( a ) — одна зі сторін, а ( C ) — відповідний кут до бокової грані.

Приклади обчислень

1. Приклад 1: Обчислення висоти призми з відомим об’ємом.

   Нехай об’єм прямої трикутної призми дорівнює ( 120 \, см^3 ), трикутна основа має площу ( 30 \, см^2 ).

   [
   h = \frac{V}{S_{основа}} = \frac{120}{30} = 4 \, см
   ]

2. Приклад 2: Висота через катети.

   Нехай основа — прямокутний трикутник з катетами ( a = 3 \, см ) та ( b = 4 \, см ). Площа основи:

   [
   S_{основа} = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \, см^2
   ]

   Якщо призма має об’єм ( 24 \, см^3 ):

   [
   h = \frac{V}{S_{основа}} = \frac{24}{6} = 4 \, см
   ]

Площа поверхні прямої трикутної призми

Для повноти картини варто розглянути також, як обчислити площу поверхні призми. Площа поверхні ( S ) обчислюється за формулою:

[
S = 2S{основа} + S{бічні}
]

Бічна площа

Бічна площа може бути розрахована як:

[
S{бічні} = (P{основа}) \cdot h
]

де ( P_{основа} ) — периметр основи.

Приклад обчислення площі поверхні

Припустимо, що у нас є прямокутний трикутник з катетами ( a = 3 \, см ) та ( b = 4 \, см ), а висота призми ( h = 4 \, см ).

1. Обчислимо площу основи:

   [
   S_{основа} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \, см^2
   ]

2. Обчислимо периметр основи:

   Сторона гіпотенузи:

   [
   c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \, см
   ]

   Периметр:

   [
   P_{основа} = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12 \, см
   ]

3. Тепер можемо обчислити бічну площу:

   [
   S{бічні} = P{основа} \cdot h = 12 \cdot 4 = 48 \, см^2
   ]

4. Відповідно, загальна площа поверхні:

   [
   S = 2S{основа} + S{бічні} = 2 \cdot 6 + 48 = 12 + 48 = 60 \, см^2
   ]

Висновок

Висота прямої трикутної призми є одним із ключових параметрів, що допомагає визначити об’єм та площу поверхні. Використовуючи прості формули, учні можуть легко обчислити висоту призми за відомими параметрами, такими як об’єм, площа основи або кути. Розуміння основних принципів, формул і способів обчислень, дасть можливість учням отримати поглиблене знання геометрії та реалізувати це на практиці. Рекомендується проводити додаткові практичні заняття з обчислень для закріплення знань.