Що таке лінійна функція: визначення, формула та приклади

Визначення лінійної функції

Лінійна функція є одним з найважливіших понять в алгебрі та математичному аналізі. Вона знаходить застосування в економіці, фізиці, інженерії та багатьох інших галузях науки. Розуміння сутності лінійної функції дозволяє вирішувати практичні завдання та будувати математичні моделі реальних процесів.

Лінійна функція — це функція виду f(x) = kx + b, де k та b — деякі константи, а x — незалежна змінна. Графіком такої функції є пряма лінія на координатній площині. Коефіцієнт k називають кутовим коефіцієнтом або нахилом прямої, а b — вільним членом або ординатою точки перетину з віссю OY.

Основні характеристики лінійної функції включають:

• Область визначення — множина всіх дійсних чисел ℝ
• Область значень — множина всіх дійсних чисел ℝ (при k ≠ 0)
• Монотонність — функція є монотонною (зростаючою або спадною)
• Неперервність — функція неперервна на всій області визначення
• Диференційовність — функція диференційована, похідна дорівнює k

Формула лінійної функції

Загальна формула лінійної функції записується як:

f(x) = kx + b

де:

• f(x) — значення функції при заданому x
• k — кутовий коефіцієнт (нахил прямої)
• x — незалежна змінна (аргумент)
• b — вільний член (точка перетину з віссю Y)

Крім стандартної форми, існують альтернативні способи запису лінійної функції. Це забезпечує гнучкість при розв’язуванні різних математичних задач та пристосуванні до специфічних умов задачі.

Альтернативні форми запису включають:

1. Форма "точка-нахил": y – y₁ = k(x – x₁), де (x₁, y₁) — координати точки на прямій
2. Форма "два точки": використовується, коли відомі дві точки на прямій
3. Форма "відрізки": x/a + y/b = 1, де a та b — довжини відрізків на осях координат
4. Неявна форма: Ax + By + C = 0, де A, B, C — константи

Кутовий коефіцієнт k

Кутовий коефіцієнт k визначає кут нахилу прямої до горизонтальної осі координат. Цей показник відіграє критичну роль у характеристиці поведінки функції та впливає на швидкість змінювання значення функції при зміні аргументу.

Значення кутового коефіцієнта k розраховується за формулою:

k = Δy/Δx = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

де (x₁, y₁) та (x₂, y₂) — координати двох точок на прямій.

Залежно від значення k прямі мають такі властивості:

• Якщо k > 0 — функція зростаюча, пряма йде вверх з ліва на право
• Якщо k < 0 — функція спадна, пряма йде вниз з ліва на право
• Якщо k = 0 — функція стала, пряма паралельна осі OX
• Чим більший модуль |k|, тим крутіший нахил прямої

Вільний член b

Вільний член b (також називається ординатою в початку координат) визначає точку перетину графіка функції з віссю OY. Він представляє значення функції при x = 0, тобто f(0) = b.

Вільний член відображає вертикальне зміщення графіка функції. Зміна значення b не впливає на нахил прямої, але переміщує її вздовж осі OY. Це важливо розуміти при аналізі та порівнянні різних лінійних функцій.

Значення b впливає на розташування прямої таким чином:

• Якщо b > 0 — точка перетину з віссю Y розташована вище початку координат
• Якщо b < 0 — точка перетину з віссю Y розташована нижче початку координат
• Якщо b = 0 — пряма проходить через початок координат (функція пропорційна)

Приклади лінійних функцій

Практичні приклади допомагають краще розібратися в застосуванні теоретичних концепцій. Розглянемо найпоширеніші та найпоказовіші приклади лінійних функцій з реального світу та математичної практики.

Приклад 1: Простий рух

Функція, яка описує рух об’єкта з постійною швидкістю:

• f(x) = 60x, де x — час в годинах, f(x) — відстань в кілометрах
• Коефіцієнти: k = 60, b = 0
• Інтерпретація: об’єкт рухається зі швидкістю 60 км/год, починаючи з нульової позиції

Приклад 2: Тариф на послугу

Функція, яка описує вартість послуги:

• f(x) = 30x + 50, де x — кількість годин, f(x) — вартість в гривнях
• Коефіцієнти: k = 30, b = 50
• Інтерпретація: базова плата 50 гривень плюс 30 гривень за кожну годину роботи

Приклад 3: Температурна шкала

Функція перетворення температури за Цельсієм на Фаренгейт:

• f(x) = 1.8x + 32, де x — температура в °C, f(x) — температура в °F
• Коефіцієнти: k = 1.8, b = 32
• Інтерпретація: мультиплікативна трансформація з адитивним зміщенням

Приклад 4: Лінійна депресіація

Функція, яка описує зменшення вартості майна:

• f(x) = -5000x + 100000, де x — кількість років, f(x) — вартість в гривнях
• Коефіцієнти: k = -5000, b = 100000
• Інтерпретація: первісна вартість 100,000 гривень, щороку зменшується на 5,000 гривень

Графіки лінійних функцій

Графічне представлення дозволяє наочно зобразити поведінку функції та зрозуміти взаємозв’язки між параметрами. Побудова графіка лінійної функції є простим, але важливим навиком в математиці.

Для побудови графіка лінійної функції необхідно виконати такі кроки:

1. Знайти точку перетину з віссю Y — це точка (0, b)
2. Знайти точку перетину з віссю X — розв’язати рівняння kx + b = 0, отримуємо x = -b/k
3. Позначити дві точки на координатній площині
4. Провести пряму лінію через ці две точки
5. Позначити напрямок нахилу відповідно до знака k

Точки для побудови графіка можна визначити таким способом:

• Перша точка: (0, b) — автоматично
• Друга точка: (1, k + b) — при x = 1
• Третя точка: (-1, -k + b) — при x = -1

Ці точки завжди лежать на прямій лінії та легко обчислюються.

Властивості лінійних функцій

Лінійні функції мають низку характерних властивостей, які їх відрізняють від інших типів функцій. Розуміння цих властивостей критично важливо для розв’язування рівнянь та нерівностей.

Основні властивості включають:

1. Адитивність: f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂) – f(0) (для функцій, що проходять через початок координат)
2. Гомогенність: f(cx) = c·f(x) для функцій виду f(x) = kx
3. Монотонність: функція є монотонно зростаючою при k > 0 або монотонно спадною при k < 0
4. Лінійність приросту: для рівних приростів аргументу Δx, приросту функції ΔF також рівні
5. Неперервність: функція неперервна на всій числовій прямій
6. Диференційовність: похідна функції дорівнює константі f'(x) = k

Розв’язування задач з лінійними функціями

Розв’язування практичних завдань з використанням лінійних функцій вимагає розуміння способів визначення параметрів функції та інтерпретації результатів. Існує кілька типових задач, з якими часто зустрічаються в математичній практиці.

Задача 1: Визначення функції по двом точкам

Дано точки A(1, 3) та B(3, 7). Знайти функцію f(x) = kx + b.

Розв’язання:

• k = (7 – 3)/(3 – 1) = 4/2 = 2
• f(1) = 2·1 + b = 3, отже b = 1
• Відповідь: f(x) = 2x + 1

Задача 2: Знаходження точки перетину двох прямих

Дано f(x) = 2x + 1 та g(x) = -x + 4. Знайти точку перетину.

Розв’язання:

• 2x + 1 = -x + 4
• 3x = 3
• x = 1, y = 2·1 + 1 = 3
• Точка перетину: (1, 3)

Задача 3: Визначення функції по точці та нахилу

Пряма проходить через точку (2, 5) з нахилом k = 3. Знайти функцію.

Розв’язання:

• f(2) = 3·2 + b = 5
• 6 + b = 5
• b = -1
• Відповідь: f(x) = 3x – 1

Застосування лінійних функцій

Лінійні функції знаходять широке застосування у різних галузях науки та практики. Вони служать моделями для опису лінійних залежностей між змінними та дозволяють робити передбачення та аналіз.

Основні области застосування включають:

• Економіка — моделювання витрат, доходів, пропозиції та попиту
• Фізика — опис рівномірного руху, закону Ома в електриці
• Хімія — розрахунки за лінійними залежностями концентрацій
• Географія — аналіз кліматичних та демографічних даних
• Інженерія — розрахунки в будівництві та машинобудуванні
• Статистика — лінійна регресія та апроксимація даних
• Медицина — дозування ліків та аналіз біомаркерів

Лінійні моделі часто використовуються як перше наближення для складніших явищ, що дозволяє спростити аналіз та отримати достатньо точні результати для практичного застосування.